1. Obbiettivi del progetto. Scopo del progetto di ricerca "equazioni di evoluzione nonlineari e sistemi dinamici" e' lo studio di sistemi fisici la cui evoluzione puo' essere modellata da equazioni di evoluzione alle derivate parziali, o da equazioni alle differenze finite, o da sistemi di equazioni differenziali ordinarie che siano "integrabili" (nel senso della teoria dei sistemi hamiltoniani), o comunque possano essere trattate con tecniche di soluzione esatta, o infine possano essere considerate come perturbazioni di modelli integrabili. Le linee fondamentali in cui si articola il progetto di ricerca sono: A. Sistemi dinamici discreti: aspetti geometrici e algebrici; B. Problemi a molti corpi risolubili, classici e quantistici; C. Equazioni di evoluzione nonlineari alle derivate parziali, trattate con tecniche spettrali o di tipo perturbativo. 2. Principali direzioni di ricerca nel 2007 e risultati attesi A. Sistemi dinamici discreti: aspetti geometrici e algebrici; a1. Metodo multiscala nel discreto: caratterizzazione della procedura dal punto di vista delle simmetrie (asintotiche) per rispondere alla domanda: fino a che punto il metodo preserva l'integrabilita'? (Levi,Petrera,Scimiterna) a2. Discretizzazioni integrabili: confronto tra gli approcci di Suris e di Sklianin-Kuznetsov, prendendo come esempio prototipico il modello di Gaudin a N siti, le sue estensioni e generalizzazioni. a3. Nell'ambito della teoria geometrica dei sistemi discreti, Santini e coll. concentreranno la loro attenzione sullla discretizzazione dell'operatore di Schroedinger in due dimensioni, e sulla costruzione di trasformazioni di simmetria e delle associate deformazioni isospettrali. B. Problemi a molti corpi risolubili, classici e quantistici; B1.n questo campo, si continuera' l'indagine sulla possibile transizione al caos per i sistemi isocroni, affiancando il calcolo numerico a strumenti analitici e algebro-geometrici. Si ritiene che la transizione al caos si abbia in corrispondenza a condizioni iniziali che non appartengono all' aperto dello spazio delle fasi per cui è garantita la periodicita' delle soluzioni, e che la transizione stessa sia leggibile dalla struttura delle singolarita' della soluzione nella variabile complessa tempo.(F.Calogero, M.Sommacal, J.P.Francoise, P.M.Santini). B2. Studio di modelli quantistici a n corpi con simmetria di coalgebra, nell'ambito dell'approccio che porta naturalmente a interpretare sistemi integrabili associati a realizzazioni di q-algebre "non-standard" come moti geodetici (o armonici o kepleriani...) su varieta' curve. Soluzione dei problemi legati alla rappresentazione di Lax dei sistemi con simmetria di co-algebra q-deformata e alla loro struttura di Poisson non-locale. C. Equazioni di evoluzione nonlineari alle derivate parziali, trattate con tecniche spettrali o di tipo perturbativo. Questa linea di ricerca sara' sviluppata alla luce dei piu' recenti risultati ottenuti. Di conseguenza, si studieranno equazioni di evoluzione rilevanti per le loro applicazioni fisiche (come ad es. l'equazione di Schroedinger nonlineare o l'equazione delle tre onde risonanti, che ammettono soluzioni solitoniche "nonstandard" (boomeroni, trapponi) (F.Calogero, A.Degasperis) e si continuera' la classificazione mediante metodi spettrali di problemi ai valori iniziali e al contorno per equazioni solitoniche (A.Degasperis, P.Grinevich, S.Manakov e P.M.Santini). Inoltre, saranno sviluppate le applicazioni al problema di Cauchy per PDEs "senza dispersione", utilizzando i risultati assai promettenti trovati nel 2006.